Makalah Harga indeks di Dunia perdagangan

Harga indeks 

14.1 Pengertian Angka Indeks

Ø  Angka indeks adalah suatu konsep untuk menjelaskan perubahan dari waktu ke waktu (bulanan, triwulanan, semesteran, atau tahunan)

Ø  Banyak digunakan di bidang ekonomi dan perusahaaan

Ø  Dinyatakan sebagai angka perbandingan yang perubahan relatifnya dinyatakan dalam persen.

Kegunanaan Angka Indeks

1)      Melihat perubahan (harga, kuantitas, atau nilai) dari satu periode ke periode lainnya (bulanan, triwulanan, semesteran, tahunan, dsb)

2)      Dipakai sebagai indikator perubahan.

Jenis-Jenis Indeks Harga

1) Indeks Harga Konsumen (IHK)

            Indeks harga konsumen mengukur perubahan harga sekelompok besar barang yang dibeli oleh konsumen. IHK mempunyai beberapa fungsi, yaitu sebagai berikut :

a)      Memungkinkan konsumen untuk mengetahui seberapa besar pengaruh perubahan harga terhadap tingkat daya beli mereka.

b)      Merupakan salah satu indikator dalam mengetahui tingkat inflasi dan tingkat keberhasilan kegiatan ekonomi.

c)      Menentukan daya beli mata uang tertentu.

2) Indeks Harga Perdagangan Besar

            Indeks harga perdagangan besar berguna untuk mengukur perubahan harga pada dua periode. Yang diukur dalam indeks harga perdagangan besar adalah bahan mentah dan barang jadi yang diperjualbelikan di pasar primer dan harga yang digunakan adalah harga produsen.
3) Indeks Harga yang Dibayar dan Diterima Petani

            Indeks harga yang dibayar dan diterima petani adalah indeks harga barang-barang yang dibeli dan dibayar oleh petani untuk melakukan proses produksi dan mencukupi kebutuhan hidup. Indeks harga yang dibayar petani digunakan untuk mengukur perubahan harga dan dipengaruhi oleh perubahan kualitas barang-barang yang disimpan oleh para pedagang.

14.2 Kerangka Konseptual dan Notasi

            Suatu Angka Indeks didefinisikan sebagai angka riil yang mengukur perubahan dalam satu set variabel yang berhubungan. Secara konseptual, angka indeks mungkin saja digunakan untuk perbandingan atas waktu atau ruang atau keduanya. Angka indeks dapat dipergunakan untuk berbagai pengukuran, seperti: indeks perdagangan, untuk mengukur hasil penjualan barang yang riil (nyata), indeks harga konsumen untuk mengukur taraf hidup dari pada penerima pendapatan tetap melalui pengukuran pendapatn nyata, upah nyata dan juga untuk mengukur kekuatan beli uang. Selain itu, angka indeks juga mempunyai beberapa kegunaan yang lain, misalnya:

a)      Memudahkan membandingkan dan menganalisis rangkaian dengan menetapkan suatu periode dasar dan mencakup berbagai kumpulan angka.

b)      Merupakan cara yang mudah untuk mengekspresikan suatu perubahan jumlah dari sekelompok bagian-bagian yang heterogen.

c)       Mengubah data menjadi angka indeks juga memudahkan untuk membandingkan trend dalam suatu rangkaian yang terdiri dari jumlah-jumlah yang sangat besar.

d)     Angka indeks juga merupakan salah satu peralatan statistik yang ditunjuk guna mengembangkan pengetahuan tentang aspek-aspek dari perekonomian.

            Angka Indeks mempunyai sejarah yang panjang dan tertentu dalam ilmu ekonomi, dengan beberapa kontribusi yang sangat penting disebabkan oleh hasil kerja Lasperyers dan Peache pada akhir abad ke 19. Formula Lasperyers dan Peache sampai sekarang massih biasa digunakan kantor statistik di seluruh dunia. Tetapi adalah hasil kerja dari Irving Fisher dan bukunya, the making of index number di publikasikan tahun 1992 yang mengakui penggunaan formula statistic untuk menurunkan perkiraan angka indeks. Indeks Tornqvist (1936) adalah formula yang memainkan peranan mayoritas dalam pengukuran produktivitas.

Notasi

            Uraian berikut ini menggunakan notasi berikut, anggap  dan mempresentasikan harga dan kuantitas, secara berurutan, harga dan kuantitas dari komoditas ke-i (i=1,2,....N) dalam periode ke-j (j=s,t). Tanpa kehilangna generalisasi s dan t berhubungan dengan dua perusahaan di samping periode waktu, dan kuantitas berhubungan dengan input dan output.

Secara konseptual, semua angka indeks mengukur perubahan dalam mlevel dari satu set dari periode referensi. Periode referensi dinotasikan sebagai “periode dasar”. Periode dengan mana dihitung berhubungan dengan “periode sekarang”. Biarkan mempresentasikan angka indeks umum untuk periode sekarang, t dan s sebagai periode dasar. Sama, anggap mempresentasikan angka indeks nilai, harga dan kuantitas, secara berurutan.

Masalah Indeks Angka Umum

            Nilai perubahan dari periode s dan t adalah rasio dari nilai komoditas dalam periode s dan t, nilai pada harga yang bersangkutan. Lantas

( 14.1 )

            Indeks, mengukur perubahan dalam nilai dari kumpulan kuantitas dalam komoditas N dari periode s ke t. Nyatalah adalah hasil dari perubahan dalam dua komponen, harga dan kuantitas. Sedangkan adalah mudah untuk diukur, yang lebih menyulitkan adalah memisahkan pengaruh perubahan harga dan kuantitas. Kita menginginkan pemisahan pengaruh ini sehingga, sebagai contoh, komponen kuantitas dapat digunakan dalam mengukur perubahan kuantitas.

            Jika beroperasi pada output tunggal, dekomposisi demikian sangat sederhana dicapai yaitu:

 =

(14.2)

Disini rasio  dan  mengukur perubahan relatif harga dan kuantitas dan tidak ada masalah angka indeks.

            Secara umum, bila dipunyai N ≥ 2 komoditas akan diperoleh permasalahan agregasi. Untuk setiap komoditas, i(i=1,2,...N..), harga relatif  mengukur perubahan dalam level harga dari komoditas ke i dan kuantitas relatif, , mengukur perubahan dalam level kuantitas komoditas ke-i.

            Sekarang permasalahannya adalah satu mengkombinasikan perbedaan N mengukur perubahan harga (kuantitas), kedalam angka riil tunggal, disebut indeks harga (kuantitas). Masalah ini hampir mirip sama dengan permasalahan memilih ukuran yang cocok bagi kecenderungan sentral. Dalam dua sesi berikut ini akan dijelaskan beberapa furmula yang biasa digunakan untuk mengukur perubahan indeks harga dan komoditas.

14.3. Indeks Harga Output

            Untuk level tertentu , X, anggap fungsi pendapatan (maksimum) didefinisikan, untuk teknologi dalam periode-t, sebagai

R’ ( P,X ) =

(14.3)

            Fungsi dapat diformulasikan dengan melihat kurva kemungkinan produksi (production possibility curve – PPC) dan garis iso-revenue (untuk kasus dua output).

            Indeks harga output, didasar

kan pada Fisher dan Shell (1972) dan Diewert (1980), berdasarkan teknologi periode-t, didefinisikan sebagai:

(14.4)

            Indeks ini adalah rasio dari kemungkinan revenue maksimum dengan vektor harga,  

, menggunakan level input tetap, X, dan teknologi periode-t.

                      Slope = -

                                                               Maksimum Revenue, Pada harga

                                                                                

                           

0                                                                                             

Gambar 14. 1 PPC dan Revenue maximization

Indeks harga output dalam persamaan (14.4) dapat juga didefinisikan menggunakan teknologi periode- s sehingga menjadi:

(14.5)

Beberapa ciri dasar dari dua angka indeks harga outpot dalam persamaan (14.4) dan (14.5) dapat dinotasikan.

Indeks-indeks ini tidak terikat pada X jika dan hanya jika teknologi adalah output homothetic. Mengikuti Fare dan Primont (1995, hal 68). Teknologi produksi adalah output homothetic jika output sets P(X) tergantung pada kemungkinan output untuk vektor input (kuantitas input sama dengan satu untuk semua input) dan fungsi nilai riil, G(X), dari X.

Dalam istilah sederhana PPC, dalam gambar 14.1 dan 14.2 untuk vektor input yang berbeda, X, adalah semua pergeseran paralel dari PPC untuk vektor input-input.

Rev.max,given Ps

Y2

                     Slope = -P₁₂/ P_t1

Rev.max,given Pt

 

                                                         

                     B

                                             A

                  Slope = -P_S2/P_S1

                                 S^t(Y,X)

       

        0                                                                           Y

                  Gambar 14.2 Indeks Harga Output

Dalam pengertian yang sama dapat ditunjukkan jika teknologi memperlihatkan netralitas secara implisit kemudian indeks-indeks tersebut tidak terikat dengan mana periode teknologi digunakan dalam derivasi.

Angaka indeks harga output dalam persamaan (14.4) dan (14.5) memenuhi sejumlah provertas standar. Sebagai contoh, indeks-indeks ini memenuhi syarat monolicity, linear homogeneity, identity, proportionality, dan indenpenden terhadap ukuran transivity  bagi t dan X tetap, dan propertas time-reversal.

Selagi  adalah level aktual input yang digunakan pada periode t dan s, dapat didefinisikan indeks dalam persamaan (14.4) dan (14.5) menggunakan level input aktual, menghasilkan dua angka indeks harga output natural, yakni :

(14.6)

(14.7)

            Sementara indeks-indeks didefinisikan disini mempunyai kemunculan intuitif, menghitungnya membutuhkan pengetahuan dari bentuk fungsional revenue dan juga nilai parameter dari peremeter fungsi yang mendasarinya. Oleh sebab itu diperlukan gambaran komplit dari teknologi, yang sebelumnya tidak berperan sewaktu menghitung perubahan yang didasarkan hanya atas pengamatan harga dan kuantitas dalam dua periode tersebut. Berikut ini akan diilustrasikan bagaimana mendapatkan hasil secara teoritis mendekati definisi angka indeks dalam persamaan (14.6) dan (14.7)

            Hasil 14.1 ; dibawah asumsi perilaku optimal (efisiensi teknis dan alokatif) dan kondisi reguler atas teknologi produksi, dua angka indeks dalam persamaan (14.6) dan (14.7) dibatasi oleh:

a)      Indeks Laspeyres

LI =

(14.8)

b)     Indeks Paasche

PI =

(14.9)

            Bukti dari hasil ini didapat dengan mengasumsi bahwa Y_t  adalah optimal untuk X_t pada harga P₁ dan Y_s adalah optimal untuk harga P_s.

            Fokus utama sebagai catatan dari hasil persamaan (14.1) adalah bahwa indeks Laypeyres dan Paasche, yang didefinisikan atas dasar heuristic (dalam pendekatan atomistik), menyediakan batas bawah dan atas bagi indeks harga output secara teoritis yang didefinisikan menggunakan teknologi produksi dan perilaku optimisasi. Mengikuti dua hasil yang diperlihatkan bahwa walaupun dua indeks dalam persamaan (14.6) dan (10.7) tidak dapat secara individual ditentukan, rata-rata geometris dari kedua indeks tersebut dapat secara beralasan diperkirakan dengan baik.

Hasil 14.2 ; perkiraan yang beralasan bagi rata-rata geometris dari dua indeks dalam persamaan (14.6 dan (14.7) disediakan oleh angka indeks harga output Fisher, yaitu

^1/2 = ^1/2

                                                = Indeks Harga Fisher

(14.10)

            Ketetapan perkiraan ini tergantung atas beberapa simetris indeks angka Laypeyres dan Paasche, relatif terhadap angka indeks teoritis dari kajian ekonomi seperti dalam persamaan (14.6) dan (14.7). indeks fisher dapat ditulis sebagai berikut:

FL =

(14.11)

            Sehingga indeks fisher adalah bentukan artifisial, yaitu antara dua ekstrim, memungkinkan sebagai propertas teori ekonomi dan statistik yang diinginkan. Diwert (1992) mendemontrasikan fleksibilitas dari indeks Fisher. Dalam gambaran banayak propertas diinginkan terpenuhi , indeks Fisher juga dikenal sebagai indeks ideal Fisher.

Hasil 14.3;  jika fungsi pendapatan untuk periode s dan dipresentasikan oleh fungsi translog, dimana derivasi keduannya sama untuk periode s dan t.

            Dalam bagian ini akan didefinisikan indeks Harga Tornqvist (TPI), pada bagian lain akan didefinisikan pula Indeks Kuantitas Tornqvist. TPI adalah rata-rata geometri disesuaikan dari harga relatif, penyesuaian dibetikan oleh rata-rata sederhana dari nilai share dalam periode s dan t, (  kemudian rata-rata geometri dari dua indeks harga dalam persamaan (14.6) dan (14.7) adalah sama dengan indeks harga output Tornqvist;

            Hal yang paling penting dari hasil ini adalah bahwa walaupun indeks teoritis dalam persamaan (14.6) dan (14.7) membutuhkan pengetahuan bagi parameter dari fungsi pendapatan, rata-rata geometrisnya sama dengan indeks Tornqvist dan indeks dapat dihitung dari data harga dan kuantitas yang diobservasi. Tidak ada pengetahuan dari parameter fungsi translog yang diperlukan.

            Indeks Tornqvist dipertimbangkan menjadi pasti (excat) untuk fungsi pendapatan translog, dan juga dipertimbangkan sebagai yang terbaik (superlative) sebagai fungsi translog adalah bentuk fungsional yang fleksibel (misal, menyediakan derivasi pertama untuk setiap fungsi yang digunakan). Indeks Fisher adalah pasti (exact) untuk fungsi kuadratik dan juga yang terbaik.

14.4. Indek Harga Input

            Mengikuti kerangka untuk indeks harga input yang secara esensial diadaptasi dari konus (1924) indeks biaya hidup yang mengukur perubahan dalam biaya pemeliharaan terhadap tingkat utilitas tertentu pada setting harga yang berbeda. Perluasan dari konsep ini dapat mengukur angka indeks harga input dengan membandingkan biaya menghasilkan vektor output tertentu, dihubungkan dengan teknologi produksi yang tersedia dan, level output yang ada, sehingga dapat diringkas menjadi:

(14.14)

            Fungsi biaya C^t (w, Y) adalah biaya minimum dalam menghasilkan Y, dengan teknologi tersedia pada periode-t, menggunakan vektor harga input , w.

            Mudah untuk melihat bahwa fungsi biaya, C^t (w, Y) adalah homogen secara linear dalam w dan non dec-reasing dalam vektor output, Y. Kita dapat menggunakan fungsi biaya untuk mendefinisikan angka indeks harga input. Berdasarklan harga input yang berlaku, w₁ dan w₂ dalam periode t dan s, dapatlah didefinisikan indeks harga input adalah rasio dari biaya minimum menghasilkan vektor input yang ada menggunakan teknologi produksi terseleksi secara arbitrasi, S^j(j=s,t). Kemudian indeks diberikan oleh

(14.15)

            Dimana fungsi biaya didefinisikan menggunakan perangkat teknologi, S. Unsur biaya dalam persamaan (14.15) dapat dilihat dari gambar 14.3 berikut. Anggap isokuan dibawah teknologi, S^s, untuk level output yang ada , Y, dipresentasikan oleh Isoq (Y)-S^s. Dua set harga input, w_s dan w_t dapat dipresentasikan oleh garis isocost AA’ dan BB’ . kombinasi biaya minimum dari input, menghasilkan vektor output ,Y.untuk dua vektor harga input Yng diberikan pada titik, X* dan X**. Titik-titik ini didapat dengan menggeser garis AA’ dan BB’ menjadi aa’ dan bb’, dimana garis-garis itu bersinggungan dengan isoq (Y)-S^s. Angka indeks harga input dalam persamaan (14.15) untuk kasus dua input ini kemudian diberikan oleh rasio dari biaya pada titik X* dan X**.

            Agar dapat menghitung secara aktual indeks harga input dalam persamaan (14.15) dibutuhkan teknologi spesifik dan juga level output, Y, pada saat mana kita ingin menghitung angka indeks. Dua titik dapat dibuat disini. Pertama, indeks harga adalah indenpenden dari periode teknologi yang digunakan jika dan hanya jika teknologi memperlihatkan implisit netralitas input hicks. Kedua, indeks P_i (w_{t ,} w_s,Y), untuk teknologi tertentu, adalah independen dari level output, Y, jika dan hanya jika teknologi memperlihatkan homotetisitas input. Jika teknologi tidak memenuhi kondisi ini, kemudian kita dapat mendefinisikan banyak angka indeks harga input menggunakan alternatif spesifikasi dari teknologi,s, dan vektor output, Y,. Dua spesifikasi alami yang digunakan teknologi periode-s dan periode-t, seiring dengan vektor output, Y_s dan Y_t. Hasil ini dalam angka indeks harga input berikut adalah:

(14.16)

                                                     Dan

(14.17)

            Amati bahwa dibawah asumsi efesiensi alokatif dan teknis, biaya input yang diamati, sama dengan  dan , secara berurutan. Kita sekarang mengemukakan dua hasil tanpa pembuktian. Pembuktian hasil 14.4 terlihat sederhana, sedangkan pembuktian hasil 14.5 sedikit lebih ruwet.

Hasil 14.4: Di bawah asumsi kita atas teknologi produksi dalam periode t dan s, dan perilaku optimal tersedia dari perusahaan dalam periode ini, indeks Lapeyres dan Paasche menyediakan batas atas dan bawah bagai angka indeks teoritis ekonomi dalam persamaan (14.16) dan (14.17). juga rata-rata geometris dari indeks ini dapat dihitung oleh angka indeks harga fisher untuk harga input.

            Hasil berikutnya didasarkan atas asumsi bahwa fungsi biaya, C(w, Y), mempunyai bentuk translog, seiring dengan restriksi yang cocok atas peremeter dari fungsi biaya untuk menjamin homogenitas linear dalam harga input.

Hasil 14.5: jika teknologi dalam periode t dan s dipresentasikan oleh fungsi biaya translog, dengan asumsi tambahan bahwa koefisien order kedua adalah identik dalam periode ini, kemudian dibawah asumsi rata-rata geometris efisiensi teknis dan alokatif dari dua angka indeks harga input dalam persamaan (14.16) dan (14.17) diberikan oleh angka indeks harga Tornqvist di aplikasikan pada harga input dan kuantitas.

            Hasil 14.4 dan 14.5 mengimplikasikan bahwa indeks Fisher dan Tornqvist dapat di implikasikan dalam mengukur perubahan dalam harga input dan pada waktu yang sama mempunyai kerangka teoritis-ekonomi yang cocok untuk mendukung penggunaannya. Hasil tersebut juga mengilustrasikan bahwa, dibawah asumsi tertentu, tidaklah diperlukan untuk mengetahui nilai numeric dari parameter fungsi biaya atau pendapatan atau teknologi produksi yang mendasarinya, terpenuhi untuk mempunyai data kuantitas dan harga input yang diobservasikan untuk mengukur perubahan dalam harga input.

            Hasil 14.5 memperlihatkan bahwa indeks harag input Tornqvist adalah exact untuk rata-rata geometris dari dua indeks teoritis, bila yang mendasari fungsi biaya adlaah translog dan selanjutnya dapat juga dipertimbangkan sebagai superlative. Diewrt (1983) memperlihatkan bhawa indeks harga input Fisher, sedangkan dia menyediakan perkiraan sebagai dalam hasil 13.4, adalah juga exact  untuk fungsi biaya kuadratik. Diewrt juga memperkenalkan spesifikasi lain untuk fungsi biaya dari indeks harga input Fisher dapat diperlihatkan sebagai exact.

14.5. Indeks Kuantitas Output

            Dua pendekatan dapat digunakan dalam mengukur perubahan kuantitas. Pendekatan pertama adalah pendekatan langsung, dimana kita menderivasi formula yang mengukur semua perubahan kuantitas dari perubahan kuantitas spesifik komoditas individu, diukur oleh Y_it/Y_is. Indeks-indeks Laspeyres, Paasche, Fisher dan Tomqvist dapat diaplikasikan secara langsung terhadap kuantitas relatif. Pendekatan kedua adalah pendekatan tidak langsung, yang menggunakan ide dasar bahwa perubahan harga dan kuantitas terdiri dua komponen yang membuat perubahan nilai atas periode s dan t. Sehingga jika harga berubah diukur secara langsung menggunakan formula dalam kupasan sebelumnya, kemudian perubahan kuantitas bisa didapatkan secara tidak langsung sesudah dihitung perubahan nilai bagi perubahan harga.

14.5.1 Pendekatan Langsung

            Bermacam formula indeks kuantitas dapat didefenisikan menggunakan angka indeks harga, dengan hanya saling merubah harga dan kuantitas.

            Indeks kuantitas Tornqvist, dalam bentuk perkalian dan penambahannya (log-change), disajikan sebagai:

                                                                 (14.20)

(14.21)

            Indeks Tornqvist dalam persamaan (14.20) adalah angka indeks yang sangat popular digunakan dalam mengukur perubahan dalam kuantitas output yang dihasilkan dan kuantitas input yang digunakan dalam produksi atas dua periode waktu s dan t. Bentuk log-change dari indeks Tornqvist dalam persamaan (14.21) adalah formula yang umumnya digunakan untuk tujuan komputasi. Preferensi bagi penggunaan formula indeks Tornqvist disebabkan banyak propertas penting teoritis ekonomi yang diatributkan oleh Diewert (1976, 1981) dan Caves, Christenses dan Diewert (1982b).

14.5.2 Pendekatan Tidak Langsung

            Pendekatan tidak langsung biasanya digunakan untuk tujuan perbandingan kuantitas antar waktu. Pendekatan ini menggunakan argumentasi dasar bahwa perubahan harga dan kuantitas yang diukur harus memperhitungkan perubahan nilai.

                                    Perubahan Nilai = Perubahan Harga x Perubahan Kuantitas

                                    V _st = P_se x Y_st

                                    (14.22)

14.5.3 Metode Deflasi

            Pendekatan ini didiskusikan dalam Fisher dan Shell (1972) dan mendekati angka indeks kuantitas tidak langsung. Pendekatan di sini adalah membagi nilai indeks harga output.

14.5.4 Pendekatan Samuelson dan Swamy

            Dalam bagian ini, pendekatan Samuelson dan Swamy (1974) untuk mengukur perubahan dalam level output. Pendekatan ini menggunakan fungsi pendapatan, R(X,P), diasosiasikan dengan vektor harga output, P, dari vektor input, X, dibawah teknologi produksi tertentu.

14.5.5 Pendekatan Malmquist

            Pendekatan Malmquist adalah pendekatan yang sangat umum digunakan untuk perbandingan output.

(14.26)

= min

(14.27)

            Jarak (distance) disini mewakili faktor terkecil, , dengan mana output perlu dideflasikan agar layak atau dapat diproduksi dengan vektor input yang tersedia, X, di bawah teknologi periode-t. Fungsi jarak diasosiasikan dengan duat vektor output Y dan Y^* seperti diilustrasikan pada gambar 14.4. dalam gambar ini, kita ilustrasikan kasus dimana observasi berada di atas atau di bawah teknologi. Catatan bahwa  lebih besar dari unity untuk Y dan lebih kecil unity untuk Y^*, keduanya respek pada vektor input yang sama, X. Ini berarti bahwa kita perlu mendefasikan Y untuk membawanya ke permukaan perangkat kemungkinan produksi, P(X), diasosiasikan dengan X. Akan tetapi, Y^* perlu diinflasikan. Kita juga mencatat bahwa fungsi jarak tergantung pada pilihan dari vektor input referensi, X. Menggunakan fungsi jarak yang didefenisikan di atas, indeks output Malmquist, didasarkan atas teknologi periode-t, didefenisikan sebagai:

=

(14.28)

Secara arbitrary diseleksi vektor input, X.

            Indeks Malmquist yang sama dapat didefenisikan menggunakan teknologi periode-s. Kenyataannya, kita juga dapat mendefenisikan banyak alternatif indeks menggunakan perbedaan level dari X. Seperti sebelumnya, indeks didefenisikan dalam persamaan (14.28) adalah independen terhadap masuknya teknologi, jika dan hanya jika teknologi memperlihatkan netralitas output Hicks. Indeks kuantitas adalah independen dari level input, X, jika dan hanya jika teknologi adalah output homothetic. Walaupun dalam kasus dimana asumsi ini berlaku, kita masih perlu untuk mengetahui bentuk fungsional dari fungsi jarak sepertinya juga nilai angka dari semua parameter yang terlingkup. Pendekatan indeks angka berusaha untuk melewati masalah ini dengan menyediakan perkiraan bagi indeks dalam persamaan (10.28) bila kita tidak yakin bentuk fungsional, atau tidak mempunyai informasi cukup untuk mengestimasikan parameter dari fungsi jarak, walaupun hanya kita mengetahui bentuk fungsi.

            Jika dipertimbangkan indeks kuantitas berdasarkan teknologi dalam periode-s dan t, seiring dengan input yang digunakan dalam periode ini, maka akan mempunyai dua kemungkinan ukuran dari perubahan output, given, Q_o^s(Y_t, Y_s, X_s) dan Q_o^t(Y_t, Y_s, X_t). Terdapat banyak hasil standar dari bunga yang berhubung indeks inti terhadap indeks kuantitas Laspeyres dan Paasche. Hasil dari kepentingan khusus adalah indeks Fisher menyediakan perkiraan rata-rata geometri dari dua indeks tersebut (lihat Diewert, 1981,1983, dan Balk, 1977). Hasil berikutya menetapkan propertas teori ekonomis tentang indeks output Tornqvist dan memperlihatkan mengapa indeks tersebut dipertimbangkan sebagai indeks pasti dan superlative.

Hasil 13.6 : jika fungsi jarak untuk periode s dan t keduanya direpresentasikan oleh fungsi translog dengan parameter turunan kedua yang identik, maka rata-rata geometrik dari indeks output Malmquist dalam persamaan (14.28), didasarkan atas teknologi periode s dan t, yang berkoresponden dengan vektor input, X_s, dan X_t, adalah ekuivelen dengan indeks kuantitas output Tornqvist. Indeks tersebut adalah:

²   = IO-  Tronqvist

(14.29)

            Hasil ini memimplikasikan bahwa indeks Tornqvist adalah exact untuk rata-rata geometri dari indeks output teoritis periode-t dan periode-s bila teknologi direpresentasikan oleh fungsi jarak output translog. Selagi bentuk fungsional translog adalah fleksibel, indeks Tornqvist juga dianggap superlatif.

            Jika fungsi translog diganti dengan fungsi kuatratik, dengan perkiraan normalization dan restriksi, melambangkan fungsi jarak output, kemudian sisi kiri dari persamaan (14.29) dapat ditunjukkan samadengan indeks kuantitas Fisher, yang memantapkan alami pasti dan superlative dari indeks kuantitas Fisher.

            Dalam memilih antara tiga alternatif pengukuran perubahan kuantitas yang didiskusikan dalam sub bagian ini, indeks Malmquist adalah hanya indeks yang memenuhi propertas homogenitas, jika Y_t = ƛ Y_s, kemudian Q_o^t(Y_s, Y_t, X) = Q_o^t(Y_s, ƛ Y_sX) = ƛ. Propertas ini tidak berlaku dua inti pendekatan Fisher-Shell dan Samuelson-Swamy. Diewert (1983) menyatakan kondisi diperlukan dan mencukupi (necessary and sufficient condition ) di bawah mana semua pendekatan adalah ekuivalen.

Skala Efisiensi

            Pendekatan di atas dapat diperluas dengan memisahkan perubahan efisiensi teknis CRS kedalam skala efisiensi dan komponen efisiensi teknis (VRS) ‘murni’. Ini akan mencakupi perhitungan dua tambahan LP ( bila membandingkan dua titik produksi). Ini juga akan meliputi pengulangan persamaan LP (14.21) dan persamaan (14.22) dengan pembatasan konveksitas (NI ’λ=1) ditambahkan pada masing-masing persamaan. Dengan demikian, kita akan menghitung fungsi jarak relatif dari teknologi VRS (disamping teknologi CRS). Kita juga dapat menggunakan nilai CRS dan VRS untuk menghitung pengaruh skalaefisiensi secara residual, menggunakan metode yang diterangkan sebelumnya. Untuk kasus N perusahaan dan T periode waktu, ini akan meningkatkan jumlah LP dari Nx(3T-2) menjadi Nx(4T-2). Lihat Fereet al (1994, hal 75) untuk lebih detail atas skala efisiensi.

            Output yang dihasilkan di atas, dimulai dengan daftar jarak ( efisiensi teknis) yang dibutuhkan untuk menghitung Malquist. Untuk keempat jarak dihitung bagi masing-masing perusahaan tiap tahunnya. Ini adalah relative terhadap:

1)      Frontier CRS-DEA periode sebelumnya.

2)      Frontier CRS-DEA periode sekarang.

3)      Frontier CRS-DEA periode berikutnya, dan

4)      Frontier VRS-DEA periode sekarang.

            Semua indeks Malmquist adalah relative terhadap tahun sebelumnya. Lebih lanjut indeks yang diperoleh untuk masing-masing perusahaan tiap tahunnya adalah:

1)      Perubahan efisiensi teknik (relatif terhadap teknologi CRS)

2)      Perubahan teknologi

3)      Perubahan efisiensi teknik murni (misal, relative terhadap teknologi VRS)

4)      Perubahan dalam skala efisiensi, dan

5)      Perubahan dalam total factor productivity (TFP)

14.6 Indeks Kuantitas Input

            Sekarang akan didiskusikan metode pengukuran perubahan dalam penggunaan input oleh perusahaan atas dua periode, t dan s. Strategi nyata, dimana kita akan mencari metode lebih lanjut mengukur perubahan dengan mendeflasikan perubahan pengeluaran input dalam periode t dan s, dengan angka indeks harga input.

            Fungsi jarak input mendefenisikan jarak antara vektor output, Y, dan vektor input, Y yang tersedia, sebagai nilai maksimum, dari skalar, p, sehingga skala vektor input, X/p, tetap (menjadi) layak. Jika d_i^t(X,Y)Dinotasikan sebagai fungsi jarak, kemudian:

(14.30)

            Menggunakan konsep fungsi jarak output, kita sekarang dapat mendefenisikan indeks kuantitas input. Sepanjang garis yang sama sebagai indeks output, kita dapat membandingkan level input vektor X_t dan X_s, dengan mengukur fungsi jarak masing-masing dari vektor output  yang tersedia, dibawah kondisi teknologi yang tersedia.

            Indeks kuantitas input, didasarkan atas fungsi jarak input malmquist, didefenisikan untuk vektor input, X_s dan X_t, dengan dasar teknologi periode-s dan periode-t, diberikan oleh:

(13.31)

            Sangatlah mudah melihat bahwa indeks kuantitas dapat didefenisikan dengan referensi teknologi setiap periode lain. Dua fungsi jarak tersebut dapat dilihat pada gambar (14.5).

X1

X2 B

 

Xs

                                                                                                                         Isoq(Y)-S^s)

                                                0                                                                      X

                  Gambar 14.5 Indeks Kualitas Input

14.7. Transitivitas dalam Perbandingan Multilateral

            Dalam bagian ini kita pertimbangkan permasalahan penurunan angka indeks harga dan kuantitas pada titik tertentu. Masalah ini muncul bila kita tertarik pada perbandingan tingkat produktivitas, output dan input antar negara, daerah, perusahaan, pabrik dan lainnya. Dalam kasus demikian, diperlukan perbandingan berpasanghan, misalnya perbandingan antara seleruh pasangan perusahaan. Anggaplah akan menurunkan suatu indeks, I_{st ,} untuk pasangan perusahaan (s,t) menggunakan formula yang kita pilih. Dipertimbangkan semua pasangan (s,t) dengan s,t = 1,2,.., M. Kemudian akan diperoleh matriks perbandingan antar semua pasangan perusahaan.

(14.32)

Matriks ini merepresentasikan semua perbandingan multilateral meliputi M perusahaan dan secara ideal akan dilihatr apakah perbandingan ini secara internal konsisten, misalnya , untuk memenuhi propertas dari transitivitas.

Konsistensi internal memerlukan bahwa suatu perbandingan langsung antara setiap dua perusahaan s dan t, harus sama dengan kemungkinan perbandingan secara tidak langsung antara s dan t melalui perusahaan ketiga r. Lantas dibutuhkan, untuk setiap r , s, dan t.

Sebagai contoh, jika matriks angka indeks menunjukkan bahwa perusahaan s menghasilkan 10 % lebih dari perusahaan r dan perusahaan r menghasilkan 20 % lebih dari perusahaan t, kemudian kita harus selalu mendapatkan bahwa perusahaan s menghasilkan 32%(1.1x1.2=1.32) lebih dari perusahaan t

            Namun , tidak satupun dari formula angka indeks , termasuk fisher dan tornqvist, memenuhi propertas transitivitas, seperti yang diberikan persamaan diatas. Akan tetapi , ingat , bahwa dua indeks ini memenuhi test balikan waktu: =I/

            Permasalahan ini kemudian: bagaimana mendapatkan perbandingan multilateral yang konsisten antar perusahaan?solusi sederhana adalah menurunkan indeks transif dari satu set perbandingan multilateral nontransitif menggunakan teknik yang dikemukakan elteto-Koves 1964 dan szulc 1964. Metode ini dikenal sebagai metode EKS.

            Berikut ini diilustrasikan konversi dari indeks nontransitif kedalam indeks transitif seperti berikut. Anggap kita mulai dengan indeks tornqvist , T, untuk semua pasangan s, t kemudian untuk semua perusahaan s dan t , kita menggunakan metode EKS untuk mengkonvensikan indeks tornqvist kedalam indeks CCD multilateral dengan menghitung :

^1/M

(14.33)

Indeks ini memenuhi propertas berikut:

        i.            , untuk s,t=1,2,..,M adalah transitif

      ii.            Indeks baru, , deviasi terakhir dari indeks original Tornqvist dalam bentuk least-squares.

    iii.            Jika kita fokus kepada indeks kuantititas didasarkan atas formula Tornqvist kemudian indeks CCD dalam bentuk perubahan-long capat ditunjukkan menjadi sama dengan

= -

(14.35)

Dimana

           

15.1 Pengantar Dekomposisi Indeks Produktivitas Malmquist

            Terdapat analogi indeks kuantiatas input berdasarkan fungsi distant input berdasarkan fungsi yang diperkenalkan oleh Shephard(1970) perluasan nyata adalah untuk mendefinisikan indeks produktifitas berdassarkan atas fungsi distan .dua pendekatan yang telah dikembangkan  adalah orientasi parsial yang didasarkan atsa rasio fungsi distan output atau input dan yang kedua adalah orientasi simultan yang didasarkan atas rasio fungsi output  terdiri dari indeks  kuantitas output dan rasio fungsi distan  input dalam indeks kuantitas output dan rasio fungsi distant input dalam indeks kuantitas input.

            Mengikuti konvensi ,dirunjuk pertama sebagai sebagai indeks produktivitas malmquist (MPI) dan kedua sebagai indeks produktivitas faktor total malmquist atau (MTFPI). Kecuali dibawah batasan berat atas teknologi tertentu, dua indeks yang akan menghasilkan ukuran perubahan produktivitas yang berbeda, walaupun perbedaan nya kecil dalam beberapa aplikasi empiris yang dilakukan oleh ekonom.

            Indeks angka Malmquist dapat didefenisikan menggunakan pendekatan orientasi output-input, yaitu:

15.2.1 Output-Orientated Index

            Orientasi produktivitas output mengukur fokus pada level maksimum output yang dapat dihasilkan menggunakan vektor input yang tersedia dan teknologi produksi yang tersedia dan teknologi produksi yang ada relatif terhadap level output.

            Beberapa catatan kekuatan MPI

            a. Indeks ini mengijinkan walaupun pada saat seseorang tidak mengetahui fungsi distance output secara alami dan pasti, dia dapat mendefenisikan ukuran pasti dari rata-rata geometris MPI orientasi-outputdidasarkan pada teknologi periode s dan t.

            b. Jika fungsi produksi mempunyai RTS dalam kedua periode ( =  = 1), kemudian MPI adalah

MPI = , j= t,s

Dimana VO _j adalah nilai output dalam periode j, dan VI_j adalah nilai input dalam periode j.

15.2.2 Input-Orientated Index

             Orientasi produktivitas input mengukur perbandingan input yang diperlukan dalam menghasilkan level output, dihasilkan dibawah kondisi teknologi periode tertentu dengan input dibutuhkan jika teknologi produksi adalah sama dengan teknologi periode lainnya.

15.2.3 MPI dan Beberapa Asumsi

            Defenisi dasar dari MPI itu sandiri tidak membutuhkan asumsi apa saja, kecuali bahwa teknologi produksi memenuhi standar aksioma, termasuk kelemahan dispoabilitas. Tetapi agar dapat menghitung MPI diperlukan asumsi bahwa perusahaan efisien secara teknis dan alokatif.

15.2.4  MPI dan Inifisiensi Teknis

            Dalam bagian ini, diobservasikan bahwa defenisi MPI tidak membutuhkan apa saja dari perilaku optimal dari suatu perusahaan. Dalam bagian ini juga, kita mengobservasi bahwa jika mempunyai observasi yang mencukupi bagi tiap periode, sehingga dapat diestimasi  teknologi dalam masing-masing periode.

15.2.5 MPI dan Batasan Optimisasi

            Dalam menderivasi indeks harga output, digunakan asumsi maksimasi pendapatan dan dalam kasua indeks input digunakan asumsi minimisasi biaya. Dalam menderivasi indeks kuantitas, digunakan fungsi distance input dan output, derivasi secara langsung dari teknologi produksi.

15.2.6 MPI dan Transitivity

            Issu menggunakan transitivitas telah mendapatkan banyak perhatian. Semenjak banyaknya kajian mengenai perubahan produktivitas yang didasarkan atas data seri waktu, issu mengenai transitivitas bukan menjadi masalah.

15.2.7 MPI dan Batasan Optimal

            Bila kita mempunyai data panel, kita dapat menggunakan DEA-seperti program linear menggunakan indeks TFP Malmquist (didasarkan atas input atau output) untuk mengukur perubahan produktivitas ini kedalam perubahan teknologi dan perubahan efisiensi teknis. Pendekatan standar DEA mempunyai kelemahan bahwa pendekatan ini tidak dapat membedakan antara perubahan dalam efisiensi relative yang dihasilkan oleh pergerakan terhadap atau keluar dari frontier efisiensi dalam tahun tertentu dan pergeseran dalam frontier ini sepanjang waktu.

            Terdapat beberapa alternatif dalam mendekomposisi indeks produktivitas Mamlquist (MPI), yaitu:

1. MPI Orientasi-Output periode-t

Kita mendefinisikan MPI orientasi-output, persamaan 15.1 menjadi:

2. MPI Orientasi-Output periode t+1

3.Bentuk Rata-rata Geometris MPI Orientasi-Output

      Rata-rata Geometris dua periode sama MPI orientasi-output, dipilah menjadi:

                                       = ¹

PENUTUP

KESIMPULAN

Ø  Angka indeks adalah suatu konsep untuk menjelaskan perubahan dari waktu ke waktu (bulanan, triwulanan, semesteran, atau tahunan)

Ø  Kegunaan angka indeks diantaranya untuk

1)      Memudahkan membandingkan dan menganalisis rangkaian dengan menetapkan suatu periode dasar dan mencakup berbagai kumpulan angka.

2)      Merupakan cara yang mudah untuk mengekspresikan suatu perubahan jumlah dari sekelompok bagian-bagian yang heterogen.

3)      Mengubah data menjadi angka indeks juga memudahkan untuk membandingkan trend dalam suatu rangkaian yang terdiri dari jumlah-jumlah yang sangat besar.

4)      Angka indeks juga merupakan salah satu peralatan statistik yang ditunjuk guna mengembangkan pengetahuan tentang aspek-aspek dari perekonomian.

Ø  Indeks angka Malmquist dapat didefinisikan menggunakan pendekatan orientasi-output maupun pendekatan orientasi input.

diantaranya:

Ø  Output Orientated Index

Ø  Input  Orientated Index

Ø  MPI dan beberapa asumsi

Ø  MPI dan Inefisiensi Teknis

Ø  MPI dan Batasan Optimisasi

Ø  MPI dan Transitivity

Ø  MPI dan data Panel DEA

Daftar Pustaka

http://akholilashari.blogspot.com/2011/06/resume-angka-indeks.html

http://www.ilerning.com/index.php?option=com_content&view=article&id=191:pengertian-angka-indeks&catid=36:statistika-deskriptif&Itemid=70

Tasman,aulia. 2008. Ekonomi produksi,Analisis Efisiensi dan Produktivitas. Jakarta : Chandra Pratama